Theory:

அனைத்துக் கணம் (Universal set)
அனைத்துக் கணம் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நோக்கத்திற்காக அல்லது காரணத்திற்காக எடுத்துக்கொண்ட அனைத்து உறுப்புகளையும் உள்ளடக்கிய தொகுப்புகளின் கணம் ஆகும். இது \(U\)என்ற குறியீட்டால் குறிப்பிடப்படும்.
Example:
1. முழு எண்களின் உறுப்புகள் அனைத்தையும் கொண்டது அனைத்துக்கணம்.
 
\(U = \{x: x \in \mathbb{W}\}\)
 
2. \(A\) \(=\) வகுப்பில் உள்ள மாணவிகள் எனில், அனைத்துக் கணம் என்பது வகுப்பில் உள்ள மாணவிகள் மற்றும் மாணவர்கள் அனைவரின் தொகுப்பு.
உட்கணம் (Subset)
\(A\), \(B\) ஆகிய இரு கணங்களில் \(A\) இல் உள்ள ஒவ்வோர் உறுப்பும் கணம் \(B\) இல் ஓர் உறுப்பு எனில், \(A\) என்பது \(B\) இன் ஓர் உட்கணம் ஆகும். இதை \(A \subseteq B\) என எழுதலாம்.
நாம் \(A \subseteq B\) ஐ \(A\) இன் உட்கணம் \(B\) எனப் படிக்க வேண்டும்.
 
அதாவது, \(A \subseteq B\) எனில் \(x \in A\) மற்றும் \(x \in B\).
 
\(A \subseteq B\) எனில், \(n(A) ≤ n(B)\) என அமையும்.
 
\(A\) ஆனது \(B\) இன் உட்கணம் இல்லை எனில், \(A \nsubseteq B\) என எழுதலாம்.
 
Important!
\(A \subseteq B\) மற்றும் \(B \subseteq A\) எனில், \(A = B\) ஆகும்.
 
வெற்றுக்கணம் என்பது ஒவ்வொரு கணத்தின் உட்கணம் ஆகும்.
 
ஒவ்வொரு கணமும் அதற்கே உட்கணம் ஆகும்.
Example:
1. \(A = \{1, 2, 3\}\) இன் உட்கணங்களைக் காண்க.
 
வெற்றுக்கணம் என்பது ஒவ்வொரு கணத்தின் உட்கணம் மற்றும் ஒவ்வொரு கணமும் அதற்கே உட்கணம் ஆகும்.
 
அதாவது, \(\{\}\) மற்றும் \(\{1, 2, 3\}\) ஆகியவை உட்கணங்கள்.
 
ஓருறுப்புக் கணங்கள் உட்கணங்கள் ஆகும்.
 
அதாவது, \(\{1\}\), \(\{2\}\) மற்றும் \(\{3\}\).
 
உறுப்புகளின் கலவையும் உட்கணங்கள் ஆகும்.
 
அதாவது, \(\{1, 2\}\), \(\{2, 3\}\) மற்றும் \(\{3, 1\}\).
 
எனவே, \(A\) இன் உட்கணங்கள் \(\{\}\), \(\{1\}\), \(\{2\}\), \(\{3\}\). \(\{1, 2\}\), \(\{2, 3\}\), \(\{3, 1\}\) மற்றும் \(\{1, 2, 3\}\).
 
 
2. \(P = \{5, 7\}\) இன் உட்கணங்களைக் காண்க.
 
\(P\) இன் உட்கணங்கள் \(\{\}\), \(\{5\}\), \(\{7\}\) மற்றும் \(\{5, 7\}\).