Doubt? ASK ME

தேற்றம் III: ஓர் இணைகரத்தில் எதிர்க் கோணங்கள் சமம்.
imag.png
 
கொடுக்கப்பட்டவை: ஒரு இணைகரம் \(ABCD\) உடன் \(AC\) மற்றும் \(BD\) என்பன மூலைவெட்டிகள்.
 
நீரூப்பிக்க: \(∠A = ∠C\) & \(∠B = ∠D\).
 
விளக்கம்: 'ஒரு இணைகரதின் எதிர்ரெதிர் பக்கங்கள் இணை மற்றும் சமம்'. So, \(AB||DC\) மற்றும் \(AD||BC\).
 
எனவே, \(AB||DC\) யின் குறுக்குவெட்டி \(AC\).
 
\(∠ACD = ∠CAB\).
 
எனவே, \(AD||BC\) யின் குறுக்குவெட்டி \(AC\).
 
\(∠DAC = ∠BCA\).
 
இங்கு, \(∠A = ∠DAC+∠CAB = ∠BCA+∠ACD = ∠C\).
 
எனவே,\(AB||DC\) யின் குறுக்குவெட்டி \(BD\).
 
\(∠CDB = ∠DBA\).
 
எனவே, \(AD||BC\) யின் குறுக்குவெட்டி \(BD\).
 
\(∠ADB = ∠DBC\).
 
இங்கு, \(∠B = DBA+∠DBC = ∠CDB+∠ADB = ∠D\).
 
நிரூபிக்கப்பட்டது.
 
தேற்றம் IV: இணைகரத் தின் மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றையொன்று இரு சமக் கூறிடும்.
imag.png
 
கொடுக்கப்பட்டவை: ஒரு இணைகரம் \(ABCD\) உடன் \(AC\) மற்றும் \(BD\) என்பன மூலைவெட்டிகள் மற்றும் \(O\) என்ற புள்ளி \(AC\) மற்றும் \(BD\) சந்திக்கும் புள்ளி.
 
நிரூபிக்க: \(OA = OC\) மற்றும் \(OB = OD\).
 
விளக்கம்: 'எதிர்ரெதிர் பக்கங்கள் இணை'. ஆகவே, \(AB||DC\) \(AD||BC\).
 
எனவே \(AB||DC\) & \(AC\) என்பது குறுக்குவெட்டி.
 
\(∠ACD = ∠OCD = ∠CAB = ∠OAB\) (மாற்று உள் கோணங்கள் ...1)
 
அதுவே \(∠OCD = ∠OAB\).
 
எனவே \(AB||DC\) & \(BD\) என்பது குறுக்குவெட்டி.
 
\(∠BDC = ∠ODC = ∠DBA = ∠OBA\) (மாற்று உள் கோணங்கள் ...1)
 
அதுவே \(∠ODC = ∠OBA\).
 
இங்கு \(\Delta AOB\) & \(\Delta COD\), இரு கோணங்கள் இணை (\(∠OCD = ∠OAB\) மற்றும் \(∠ODC = ∠OBA\)) மற்றும் பக்கங்களின் அளவு சமம்.
 
\(கோ -ப-கோ\) விதியின் படி, இரு முக்கோணங்கள் \(\Delta AOB\) & \(\Delta COD\) சர்வசமம் எனில், அதன் பக்கங்கள் சமம்.
 
எனவே, \(△AOB ≅ △ COD\) (கோ -ப-கோ)
 
ஆகவே, \(OA = OC\) மற்றும் \(OB = OD\) (சர்வசம முக்கோணத்துடன் தொடர்புடையவை)
 
நிரூபிக்கப்பட்டது.
தேற்றம் V: ஒரே அடித்தளத்தையும் ஒரு சோடி இணைக்கோடுகளுக்கிடையேயும்அமையும் இணைகரங்களின் பரப்பளவுகள் சமம்.
base.png
 
கொடுக்கப்பட்டவை: இரு இணைகரம் \(ABCD\) & \(ABEF\) யின் அடிதளம் \(AB\) &\(CF\) & \(AB\) என்பது இணைகோடுகள்.
 
நிரூபிக்க: \(ABCD\) இணைகரத்தின் பரப்பளவு \(=\) \(ABEF\) இணைகரத்தின் பரப்பளவு
 
விளக்கம்: இணைகரம் \(ABCD\) மற்றும் \(ABEF\) ஆனது \(AB\) என்ற பொதுப்பக்கத்தை உடையது.
 
இங்கு இரு ஜோடி முக்கோணங்கள் \(ADF\) மற்றும் \(BCE\).
 
\(\angle ADF = \angle BCD\) மற்றும் \(\angle AFD \angle BEC\).
 
\(AD = BC\) மற்றும் \(AF =BE\) (எதிர்ரெதிர் பக்கங்கள் சமம்).
 
இரு பக்கங்கள் மற்றும் இரு கோணங்கள் சமம்.
 
\(கோ-கோ-ப\) விதியின் படி, முக்கோணங்கள் \(ADF\) மற்றும் \(BCE\) என்பன சர்வசம முக்கோணங்கள்.
 
சர்வசம முக்கோணங்களின் பரப்பளவு சமம்.
 
\(ABCD\) இணைகரத்தின் பரப்பளவு \(=\) \(\Delta BCE\) யின் பரப்பளவு \(+\) \(ABED\) நாற்கரத்தின் பரப்பளவு.
 
\(=\) \(\Delta BCE\) இன் பரப்பளவு\(+\) \(ABED\) நாற்கரத்தின் பரப்பளவு
 
\(=\) \(ABEF\) இணைகரத்தின் பரப்பளவு
 
\(ABCD\) இணைகரத்தின் பரப்பளவு \(=\) \(EFCD\) இணைகரத்தின் பரப்பளவு
 
நிரூபிக்கப்பட்டது.
 
இம்முறை மூலம் கீழ்கண்ட கிளைதேற்றங்கள்  நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.
Important!
கிளைதேற்றம் 1: ஒரு பொதுவான அடிப்பக்கத்தையும் ஒரு சோடி இணைகோடுகளுக்கு இடையேயும்  அமையும் முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகள் சமம்.
 
கிளைதேற்றம் 2 ஒரு பொதுவான அடிப்பக்கத்தையும் ஒரு சோடி இணைகோடுகளுக்கு இடையேயும் அமையும் ஒரு செவ்வகம் மற்றும் ஓர் இணைகரத்தின் பரப்பளவுகள் சமம்.